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总体方差,总体标准差,样本方差,样本标准差

下面是总体方差、总体标准差、样本方差和样本标准差的计算方法及示例。

总体方差和总体标准差

总体方差

总体方差(Population Variance)是所有数据点与总体均值之间差值的平方的平均值。公式如下:
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)

总体标准差

总体标准差(Population Standard Deviation)是总体方差的平方根。公式如下:
\( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \)

样本方差和样本标准差

样本方差

样本方差(Sample Variance)是所有样本数据点与样本均值之间差值的平方的平均值,但为了校正估计的偏差,分母用 (n-1) 而不是 (n)。公式如下:
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)

样本标准差

样本标准差(Sample Standard Deviation)是样本方差的平方根。公式如下:
\( s = \sqrt{s^2} \)

示例

假设有一组数据:[ [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9] ]

  1. 计算总体均值:\( \mu = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5 \)
  2. 计算总体方差
    \(
    \sigma^2 = \frac{(2-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{8}
    \)
    \(
    \sigma^2 = \frac{(-3)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{8}
    \)
    \(
    \sigma^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8} = \frac{32}{8} = 4
    \)
  3. 计算总体标准差
    \(
    \sigma = \sqrt{4} = 2
    \)
  4. 计算样本均值:样本均值和总体均值相同,仍然是5。
  5. 计算样本方差
    \(
    s^2 = \frac{(2-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{7}
    \)
    \(
    s^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{7} = \frac{32}{7} \approx 4.57
    \)
  6. 计算样本标准差
    \(
    s = \sqrt{4.57} \approx 2.14
    \)

综上所述,对于数据 [ [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9] ],我们有:

  • 总体方差:4
  • 总体标准差:2
  • 样本方差:4.57
  • 样本标准差:2.14

代码

运行上述代码将得到以下输出: