下面是总体方差、总体标准差、样本方差和样本标准差的计算方法及示例。

总体方差和总体标准差

总体方差

总体方差（Population Variance）是所有数据点与总体均值之间差值的平方的平均值。公式如下：
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)

总体标准差

总体标准差（Population Standard Deviation）是总体方差的平方根。公式如下：
\( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \)

样本方差和样本标准差

样本方差

样本方差（Sample Variance）是所有样本数据点与样本均值之间差值的平方的平均值，但为了校正估计的偏差，分母用 (n-1) 而不是 (n)。公式如下：
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)

样本标准差

样本标准差（Sample Standard Deviation）是样本方差的平方根。公式如下：
\( s = \sqrt{s^2} \)

示例

假设有一组数据：[ [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9] ]

1. 计算总体均值：\( \mu = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5 \)
2. 计算总体方差：
   \(
   \sigma^2 = \frac{(2-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{8}
   \)
   \(
   \sigma^2 = \frac{(-3)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{8}
   \)
   \(
   \sigma^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8} = \frac{32}{8} = 4
   \)
3. 计算总体标准差：
   \(
   \sigma = \sqrt{4} = 2
   \)
4. 计算样本均值：样本均值和总体均值相同，仍然是5。
5. 计算样本方差：
   \(
   s^2 = \frac{(2-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (4-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (9-5)^2}{7}
   \)
   \(
   s^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{7} = \frac{32}{7} \approx 4.57
   \)
6. 计算样本标准差：
   \(
   s = \sqrt{4.57} \approx 2.14
   \)

综上所述，对于数据 [ [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9] ]，我们有：

• 总体方差：4
• 总体标准差：2
• 样本方差：4.57
• 样本标准差：2.14

代码

运行上述代码将得到以下输出：